Teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí, es decir son varios objetos pero de una sola categoría.

Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: números, letras, colores, etc. Cada uno de los objetos en la colecciones un elemento o miembro del conjunto.

Notación de conjuntos:
A= Cuando hablamos de conjuntos es normal usar letras mayúsculas para llamar al conjunto, y letras minúsculas para los elementos de ese conjunto.

por ejemplo:

el conjunto de los miembros de una familia es:

A={Ana, Luis, Sofía, Toño}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.

por ejemplo:

para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un numero primo es:

P={2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

En particular el orden en que se representan estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, es decir, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos.

por ejemplo:

S={Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes}={Martes, Viernes, Miércoles, Lunes, Jueves}

A={Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Violeta}={Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Violeta, Naranja}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, el conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). 

Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:

una de ellas es por comprensión, describiendo una condición que cumplen sus elementos:

A= es el conjunto cuyos elementos son los números positivos menores que 5.

B= es el conjunto de colores de la bandera de México.

La segunda manera es de extensión o enumeración, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjunto entre llaves:

C= {4,2,3,1}

D={blanco, rojo, verde}

Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

A={x/x es un entero, y 1<=x<=5}

B={c /c es un color de la bandera de México}

F={n^2 /n es un entero 1<=n<=10}

Donde en esta expresión el diagonal"/" significa "tal que". Así, el conjunto de F anterior es el conjunto de "los números de forma n tal que n^2 es un número natural entre 1 y 10 (ambos incluidos)", o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}.

PERTENENCIA

La relación clave en un conjunto es la pertenencia: cuando es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un elemento de B, se denota por a ϵ B, y si no lo es, se denota por a ϶ B.

Notación de pertenencia.
ϵ=Pertenece a

϶= No pertenece a

por ejemplo:

Respecto a los conjuntos A, B y F de la sección anterior, podemos decir:

4 ϵ A,    36 ϵ F,   verde ϵ B,  pero

7 ϶ A,     8 ϶ F,     azul ϶ B

y se dice entonces que 4 pertenece al conjunto de A, 4 es un elemento de A, 4 está en A o A contiene a 4.

CARDINALIDAD

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito podemos contar los elementos del conjunto

Nota: El numero de elementos de un conjunto es su cardinalidad.

La cardinalidad se denota por |A|, o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene |A|=4 (cuatro números), |B|=3(tres colores), |F|=10(diez cuadrados). El único conjunto cuya cardinalidad es cero es el conjunto vacío { }.

SUBCONJUNTOS

Un subconjunto de A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B.

Nota.
Un conjunto de A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

Si A es un subconjunto de B, se escribe A C B y se dice que "A está contenido de B".

Notación de subconjunto.
C = esta contenido
Ↄ= no esta contenido

por ejemplo:

El "conjunto de todos los hombres es un subconjunto de todas las personas".

{1,2,3,4}C{1,3}

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de ven son ilustraciones usadas en la rama de las matemáticas conocidas como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo.
La forma en que estos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan.

Por ejemplo:

cuando los círculos se sobreponen, indican la existencia de subconjunto con algunas características comunes.

Sea el conjunto A un subconjunto del conjunto B.

Operación de conjuntos

Sean A y B dos conjuntos.

Unión

Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto que se denota AUB el cual contiene todos los elementos de A y de B.

Si tenemos los conjuntos

A={rojo, azul, amarillo}

B={rosa, blanco, rojo, verde}

entonces:

AUB={azul, rojo, amarillo, rosa, verde, blanco}

Observa que aun cuando el elemento "rojo" se encuentra en ambos conjuntos, el nuevo conjunto lo contiene solamente una vez.

Intersección

Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de
A y B, representado por AꓵB. Es decir, AꓵB es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:

AꓵB={xϵA ꓥ xϵB}

Si dos conjuntos A y B son tales que AꓵB=ø,es decir nulos, entonces A y B se dice que son conjuntos disjuntos.

Si tenemos los conjuntos

A={2,4,6}

B={4,6,8,10}

C={10,14,16,26}

entonces:

AꓵB={4,6}

AꓵC={  }

Diferencia

Los elementos de un conjunto A que no se encuentran en otro conjunto B, forman otro conjunto llamado diferencia de A y B, representado por A-B. Es decir:

A-B={xϵA ꓥ xϵB}

LEYES DE D'MORGAN

Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:  

Primera ley: El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.

En el diagrama anterior podemos observar que el lado izquierdo A∪B viene dada por la región en blanco y (A∪B)' está representado por el área sombreada verticalmente.
Por otra parte observamos que el lado derecho A' es la región sombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que 'A∩'B está representado por la superficie cuadriculada. Por lo tanto vemos que las regiones resultantes son iguales.

Segunda ley: El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos

En el diagrama anterior observamos que del lado izquierdo, A∩B está dada por la región sombreada horizontalmente y (A∩B)' está representado por el área sombreada verticalmente. Por su parte, en el diagrama de la derecha, A' es la región sombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que 'A ∪ 'B está representado por la superficie que no es blanca. Por lo tanto vemos que las regiones resultantes son iguales.

Bibliografía:
Teoría de Conjuntos
Libro Probabilidad y estadística
-un enfoque por competencias
Armando Hernández Baltazar